Question

19．已知函数f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx（ω＞0），且y=f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow{b}$=（b，3）垂直，且f（C）=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式求得f（x）的解析式，根据周期公式求得ω的值，由正弦函数的单调性，即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由f（C）=$\sqrt{3}$，代入即可求得C，由向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow{b}$=（b，3）垂直，及ab=3，由三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，即可求得△ABC的面积．

解答 解：（1）f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
y=f（x）的最小正周期为π．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（2）由向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow{b}$=（b，3）垂直，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，ab-6=0，
求得：ab=6，
f（C）=$\sqrt{3}$，即2sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∵角C为锐角，
解得：C=$\frac{π}{3}$，
由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△ABC的面积$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正弦函数图象及性质，考查向量垂直的充要条件及三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．