Question

4．已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求函数的单调区间；
（2）当x∈[e，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，即可求a的值．
（2）当x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，等价于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，求最值，即可求a的取值范围

解答 解：（1）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x}$，
由题意可得f′（1）=2-2a=0，解得a=1；
经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，
所以a=1．
（2）由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，x∈[e，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{{（x+lnx）}^{2}}$＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函数，
有h（x）≥h（e）=$\frac{{e}^{2}}{e+1}$，
所以a≤$\frac{{e}^{2}}{e+1}$．

点评 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况．本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．