Question

（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形， ，
（1）求证：CD;
（2）求AD与SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）
（3）

（1）是矩形，      --------------1分
又 -------------2分
                   -------------3分
 CD            -------------4分
（2）由，及（I）结论可知DA、DC、DS
两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系

         --------------5分
                     --------------6分
              --------------7分
AD与SB所成的角的余弦为                 --------------8分
（3）设面SBD的一个法向量为
         --------------9分
又
∴设面DAB的一个法向量为

所以所求的二面角的余弦为                                                   …………11分
解法二
（1）同解法一
（2）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，
∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角                      …………5分
在中，由（1）知，SD⊥面ABCD。
中，
CD是CS在面ABCD内的射影，且
                                 --------------6分
      ----------8分
从而SB与AD的成的角的余弦为 
（3）
面ABCD．  
BD为面SDB与面ABCD的交线．
    SDB                              
于F，连接EF，             
从而得：
为二面角A—SB—D的平面角            ------10分
在矩形ABCD中，对角线            
中，
由（2）知在，

而中，SA=a，且AB=2a，

为等腰直角三角形且为直角，

所以所求的二面角的余弦为                  --------------12分