Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3，3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{5}{6}$π

Answer 1

分析 利用向量垂直，得到关于数量积的等式，进一步利用数量积公式求夹角．

解答 解：因为平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3，3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
所以（3$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
所以3${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\frac{1}{5}{\overrightarrow{b}}^{2}$+$\frac{16}{5}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
所以3+$\frac{9}{5}$+$\frac{16}{5}×1×3$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{2π}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了垂直向量的数量积为0，以及利用向量的数量积求向量的夹角；属于基础题．