Question

16．某同学为了计算函数y=lnx图象与x轴，直线x=1，x=e所围成形状A的面积，采用“随机模拟方法”，用计算机分别产生10个在[1，e]上的均匀随机数x_i（1≤i≤10）和10个在[0，1]上的均匀随机数y_i（1≤i≤10），其数据记录为如下表的前两行．

xi	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
yi	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnxi	0.92	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

（1）依次表格中的数据回答，在图形A内的点有多少个，分别是什么？
（2）估算图形A的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，画出图形，利用图形得出条件y_i＜lnx_i，由此求出表格中的数据在图形A内的点有几个；
（2）利用几何概型得出$\frac{{∫}_{1}^{e}lnxdx}{e-1}$=$\frac{6}{10}$，求出${∫}_{1}^{e}$lnxdx的值即可．

解答 解：（1）根据题意，画出图形，如图所示；
由y_i＜lnx_i得，
表格中的数据满足条件的点，即在图形A内的点有6个，
分别是（2.50，0.84），（1.22，0.20），（2.52，0.01），
（2.17，0.60），（1.89，o．59），（2.22，0.10）；
（2）由（1）知，表中10个点（x_i，y_i）满足y_i≤f（x_i）的点有6个，
∴$\frac{{∫}_{1}^{e}lnxdx}{e-1}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
即${∫}_{1}^{e}$lnxdx=$\frac{3}{5}$（e-1）；
∴估计图形A的面积为$\frac{3}{5}$（e-1）．

点评 本题考查了利用几何概型模拟估计定积分的值，以及定积分在面积中的简单应用问题，是基础题目．