Question

14．已知函数f（x）=2x+3，若b₁=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}•f（n-1）}$（n∈N^*）
（1）求b₂，b₃的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）记c_n=$\root{4}{{b}_{n}}$（n∈N^*），试证：c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer 1

分析 （1）求得b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}（2n+1）}$，分别令n=1，2计算即可得到所求值；
（2）对等式两边取倒数，运用数列恒等式，结合等差数列的求和公式，计算即可得到所求通项公式；
（3）求得c_n=$\root{4}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，注意从第二项放缩，化简整理即可得证．

解答 解：（1）b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}•f（n-1）}$=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}（2n+1）}$，
可得b₂=$\frac{{b}_{1}}{1+3{b}_{1}}$=$\frac{1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，
b3=$\frac{{b}_{2}}{1+5{b}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{9}$；
（2）由b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+{b}_{n}（2n+1）}$，两边取倒数，可得：
$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+2n+1，
可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{3}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）
=1+3+5+…+2n-1=n²，
可得b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$，（n∈N^*）；
（3）证明：c_n=$\root{4}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），
则c₁+c₂+…+c₂₀₁₀=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2010}}$
＜1+2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$）
=1+2（$\sqrt{2010}$-1）=2$\sqrt{2010}$-1，
要证2$\sqrt{2010}$-1＜89，即为$\sqrt{2010}$＜45，
即有2010＜2025成立．
则c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及等差数列的求和公式，化简整理的运算能力，属于中档题．