Question

19．已知圆C₁：x²+y²-6x-6=0，圆C₂：x²+y²-4y-6=0
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在的直线的方程；
（3）求公共弦的长度．

Answer 1

分析 （1）将两圆化成标准方程，得到它们的圆心和半径，用两点距离公式求出圆心距，最后用圆心距离与两圆的半径和与差进行比较，即可得到两圆的位置关系；
（2）两圆的一般式方程相减，再化简整理得到3x-2y=0，即为两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求出第一个圆的圆心到直线3x-2y=0的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．

解答 解：（1）圆C₁：x²+y²-6x-6=0，化为（x-3）²+y²=15，圆心坐标为（3，0），半径为$\sqrt{15}$；
圆C₂：x²+y²-4y-6=0化为x²+（y-2）²=10，圆心坐标（0，2），半径为$\sqrt{10}$．
圆心距为：$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
因为$\sqrt{15}$-$\sqrt{10}$＜$\sqrt{13}$＜$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，
所以两圆相交．
（2）将两圆的方程相减，得-6x+4y=0，
化简得：3x-2y=0，
∴公共弦所在直线的方程是3x-2y=0；
（3）由（2）知圆C₁的圆心（3，0）到直线3x-2y=0的距离d=$\frac{9}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，
由此可得，公共弦的长l=2$\sqrt{15-\frac{81}{13}}$=$\frac{2\sqrt{1482}}{13}$．

点评 本题给出两个定圆，求它们的公共弦所在直线方程并求弦长，着重考查了圆的标准方程与一般方程、圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．