Question

若2014=2 a1+2 a2+…+2 an，其中a₁，a₂，a_n为两两不等的非负整数，设x=sinS_n，y=cosS_n，z=tanS_n（其中S_n=

(a1+a2+…+an)π

3

），则x、y、z的大小关系是（　　）

• A、z＜y＜x
• B、x＜z＜y
• C、x＜y＜z
• D、y＜z＜x

Answer 1

考点：数列的求和,进行简单的合情推理

专题：计算题,等差数列与等比数列,推理和证明

分析：由题意2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n可变形为2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，继而得到S_n，然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论．

解答：解：∵2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n，且a₁，a₂，…，a_n为两两不等的非负整数，
∴2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，
S_n=

(a1+a2+…+an)π

3

=

50π

3

=16π+

2π

3

，
x=sinS_n=sin（16π+

2π

3

）=

3

2

，y=cosS_n=cos（16π+

2π

3

）=-

1

2

，z=tanS_n=tan（16π+

2π

3

）=-

3

，
∴z＜y＜x．
故选：A．

点评：该题考查三角函数值的大小比较，关键是把2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n变形为2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，综合性较强，有一定技巧．