【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性 ;
(2)若对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,若函数
有两个极值点
,求
的最大值.
【答案】(1)当时,
在
上递减;当
时,
在
上内单调递增,在
内单调递减;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)
,由
,当
时,
,所以
在
内单调递减,则有
,从而
,再证明当
时,不符合题意,从而可得实数
的取值范围为
;(3)求
的最大值可转化为
,
的最大值,利用导数可得
在
单调递增,
当
时,
取得最大值,最大值为
.
试题解析:(1)由已知得,
当时,
,
在
内单调递减.
当时,若
,有
,若
,有
,则
在
上内单调递增,在
内单调递减.
(2)令,由
解法一:
当时,
,所以
在
内单调递减,
则有
,从而
,
当时,
,得
,当
,有
,则
在
上内单调递增,此时
,与
恒成立矛盾,因此不符合题意,
综上实数的取值范围为
.
解法二:
当时,
,所以
在
内单调递减,
则有
,符合题意.
当时,
,得
,当
,有
,若
,有
,则
在
上内单调递增,在
内单调递减.又
,
因此,即
,
综上实数的取值范围为
.
(3),则
,
由已知,可得,即方程
有2个不相等的实数根
,
则, 解得
,其中
,
而
由可得
,又
,所以
,
设,
,由
,则
,故
所以在
单调递增,
当
时,
取得最大值,最大值为
.
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【题目】如图所示几何体ABC﹣A1B1C1中,A1、B1、C1在面ABC上的射影分别是线段AB、BC、AC的中点,面A1B1C1∥面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形.
(1)求证:△A1B1C1是等边三角形;
(2)若面ACB1A1⊥面BA1B1 , 求该几何体ABC﹣A1B1C1的体积;
(3)在(2)的条件下,求面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=-1时,函数f(x)恰有两个不同的零点,求实数a的值;
(Ⅱ)当b=1时,
①若对于任意x∈[1,3],恒有f(x)≤2x2,求a的取值范围;
②若a≥2,求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值g(a).
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【题目】若函数f(x)=x﹣ sin2x+asinx在(﹣∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[﹣1,1]
B.[﹣1, ]
C.[﹣ ,
]
D.[﹣1,﹣ ]
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