Question

【题目】如图所示几何体ABC﹣A1B1C1中，A1、B1、C1在面ABC上的射影分别是线段AB、BC、AC的中点，面A1B1C1∥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形．

（1）求证：△A1B1C1是等边三角形；
（2）若面ACB1A1⊥面BA1B1 ， 求该几何体ABC﹣A1B1C1的体积；
（3）在（2）的条件下，求面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，设A1，B1，C1在底面ABC上的射影分别为E，F，G，则A1E∥BF，

∵面A1B1C1∥面ABC，面面A1B1EF∩面ABC=EF，∴A1B1∥EF，

又E、F分别是线段AB、BC的中点，即AC∥EF，∴A1B1∥AC，且A1B1= AC，

同理，A1C1= ，B1C1= ，

∵△ABC是等边三角形，∴△A1B1C1是等边三角形

（2）解：设A1E=h，取A1B1的中点K，∵A1B= =BB1，∴BK⊥A1B1，

又面ACB1A1⊥面BA1B1，∴BK⊥面ACB1A1，即BK⊥GK，

由题意得 ，BK=GK= ，

∵BG= ，∴h= ，

∴该几何体ABC﹣A1B1C1的体积：

= +3

= =

（3）解：过B作AC的平行线l，则l为面ABC与面A1B1B的交线，

分别取A1B，AC的中点K，G，

则BK⊥A1B1，BG⊥AC，

∵A1B1∥AC∥l，∴∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角，

∵BK⊥KG，∴cos∠KBG= = = ，

∴面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）设A1 ， B1 ， C1在底面ABC上的射影分别为E，F，G，则A1E∥BF，推导出A1B1= AC，A1C1= ，B1C1= ，由此能证明△A1B1C1是等边三角形．（2）设A1E=h，取A1B1的中点K，由 = +3 ，能求出该几何体ABC﹣A1B1C1的体积．（3）过B作AC的平行线l，则l为面ABC与面A1B1B的交线，分别取A1B，AC的中点K，G，则∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角，由此能求出面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值．