Question

7．已知曲线$y=\frac{1}{3}{x^3}$，求曲线过点P（2，$\frac{8}{3}$）的切线方程．

Answer 1

分析 设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．

解答 解：设过点P（2，$\frac{8}{3}$）的直线与曲线相切，切点坐标为$（{x_0}，\frac{1}{3}x_0^3）$，
所以切线的斜率为${f^'}（{x_0}）=x_0^2$，所以切线方程为$y-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（x-{x_0}）$，
因为切线过点P（2，$\frac{8}{3}$），所以$\frac{8}{3}-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（2-{x_0}）$，
解得x₀=2或x₀=-1
当x₀=2时，切线方程为12x-3y-16=0
当x₀=-1时，切线方程为3y-3x-2=0
所以，所求切线方程为12x-3y-16=0或3y-3x-2=0．

点评 本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．