Question

16．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0，a≠1）是定义域R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{8}{3}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＞0，求得a＞1，f（x）在R上单调递增，不等式化为f（x²+tx）＞f（-2x-1），x²+tx＞-2x-1，即  x²+（t+2）x+1＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
（3）由f（1）=$\frac{8}{3}$求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=3^x-3^-x，可知f（x）=3^x-3^-x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t²-2mt+2，（t≥$\frac{8}{3}$），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于-2，求得m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＞0，∴a-$\frac{1}{a}$＞0，又 a＞0，
∴a＞1．…（6分）
由于y=a^x单调递增，y=a^-x单调递减，故f（x）在R上单调递增．
不等式化为f（x²+tx）＞f（-2x-1）．
∴x²+tx＞-2x-1，即  x²+（t+2）x+1＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t+2）²-4＜0，解得-4＜t＜0．…（10分）
（3）∵f（1）=$\frac{8}{3}$，a-$\frac{1}{a}$=$\frac{8}{3}$，即3a²-8a-3=0，∴a=3，或 a=-$\frac{1}{3}$（舍去）．…（12分）
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-23^x）²-2m（3^x-3^-x）+2．
令t=f（x）=3^x-3^-x，由（1）可知k=2，故f（x）=3^x-3^-x，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{8}{3}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m² （t≥$\frac{8}{3}$）…（15分）
若m≥$\frac{8}{3}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（16分）
若m＜$\frac{8}{3}$，当t=$\frac{8}{3}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{8}{3}$，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．