Question

11．过点A（3，1）的直线l与圆C：x²+y²-4y-1=0相切于点B，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． 0
• B． $\sqrt{5}$
• C． 5
• D． $\frac{{\sqrt{50}}}{3}$

Answer 1

分析 先求出圆心和半径，再根据过点A（3，1）的直线l与圆C：x²+y²-4y-1=0相切于点B得到$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CB}$=0，再根据向量的运算即可求出．

解答 解：由圆C：x²+y²-4y-1=0配方为x²+（y-2）²=5．∴C（0，2），半径r=$\sqrt{5}$．
∵过点A（3，1）的直线l与圆C：x²+y²-4y-1=0相切于点B，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CB}$|²+$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CB}$=5，
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．