Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点．
（1）作出过B₁、G、F三点的长方体的截面（保留作图痕迹）；
（2）求异面直线A₁E与GF所成角的大小；
（3）求斜线GF与底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接B1G并且延长B1G交BC的延长线于点Q，再连接FQ交CD于点P，则可得截面为B₁FPG．
（2）连接B₁G，EG，由长方体的结构特征与题中的条件可得：A₁E∥B₁G，得到∠B₁GF为异面直线所成角，再利用解三角形的有关知识求出答案．
（3）连接FC，由题意可得：GC⊥平面ABCD，所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，再利用解三角形的有关知识求出线面角．

解答：解：（1）如图所示：截面为B₁FPG．

（2）连接B₁G，EG，
∵E、G分别是DD₁和CC₁的中点，
∴EG∥C₁D₁，而C₁D∥A₁B₁，
∴EG∥A₁B₁，
∴四边形EGB₁A₁是平行四边形．
∴A₁E∥B₁G，
所以∠B₁GF为异面直线所成角，
连接B₁F，则FG=

3

，B₁G=

2

，B₁F=

5

，
所以FG²+B₁G²=B₁F²，
所以∠B₁GF=90°，
所以异面直线A₁E与GF所成的角为90°．
（3）连接FC，
由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的结构特征可得：GC⊥平面ABCD，
所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，
因为AA₁=AB=2，AD=1，点F、G分别是AB、CC₁的中点，
所以CG=1，CF=

2

，
所以在△GFC中，tan∠GFC=

GC

FC

=

1

2

=

2

2

，
所以斜线GF与底面ABCD所成角为arctan

2

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角与线面角，求空间角的步骤是：①从几何体中找或作出角来，②证明此角是所求角，③再利用解三角形的有关知识求出空间角．