Question

9．设f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx（a，b∈R）
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2时取得最小值-5，且h（x）=f（x）+3x+k只有一个零点，求k的取值范围；
（2）设a+b≤8，且a，b∈N^*，若f（x）的单调减区间的长度是正整数，求a，b的值．（注：区间（m，n）的长度是n-m）．

Answer 1

分析 （1）由题意，求出g（x），h（x），在求g（x）的导函数在x=-2时取得最小值-5，h（x）=f（x）+3x+k只有一个零点，建立关系求k的取值范围．
（2）求f（x）导函数的单调减区间，其长度是正整数，a+b≤8，且a，b∈N^*，从而其满足题意的a、b的值．

解答 解：由题意f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx（{a，b∈R}）$
f′（x）=x²+2ax+b
那么：g（x）=f′（x）-2x-3=x²+（2a-2）x+b-3
则g′（x）=2x+2a-2
∵g（x）的导函数在x=-2时取得最小值-5
故有：$\left\{\begin{array}{l}{（-2）^{2}+（2a-2）（-2）+b-3=-5}\\{2×（-2）+2a-2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=2
那么：h（x）=f（x）+3x+k=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+3x+k=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（b+3）x+k=$\frac{1}{3}$x³+3x²+5x+k
则h′（x）=x²+2ax+b+3=x²+6x+5
令h′（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=-5
∵h（x）=f（x）+3x+k只有一个零点：
则有：$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（-5）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＞0}\\{h（-5）＞0}\end{array}\right.$
解得：$k＜-\frac{25}{3}$或$k＞\frac{7}{3}$
故k的取值范围是{k|$k＜-\frac{25}{3}$或$k＞\frac{7}{3}$}．
（2）由（1）可得f′（x）=x²+2ax+b且f（x）的单调减区间的长度是正整数，所以方程f′（x）=0必然有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac=4a²-4b＞0，解得：a²＞b．
不妨设两个根分别为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=2$\sqrt{{a}^{2}-b}$为正整数．
又∵a+b≤8，且a，b∈N^*，a，b∈{1，2，3，4，5，6，7}
∴a≥2时才有满足条件的a，b的值．
当a=2时，b=3使得$2\sqrt{{a}^{2}-b}$为正整数．故a=2，b=3．
当a=3时，b=5使得$2\sqrt{{a}^{2}-b}$为正整数．故a=3，b=5．
综上所述：当a=2，b=3或a=3，b=5满足题意．

点评 本题考查了幂函数的求导公式的运算，二次函数的最值及一元二次方程根与系数的关系，更主要考查了导数研究函数单调性的方法即分类讨论的思想．