Question

15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC．
（1）若a=b，求cosB的值；
（2）若B=60°，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：b²=2ac，又a=b，即可用c表示a，b，利用余弦定理可求cosB的值．
（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=16，结合（1）可求得b²=2ac=32，从而可求b的值．

解答 解：（1）由已知及正弦定理可得：b²=2ac，…2分
又a=b，可得：b=2c，a=2c，…4分
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（2c）^{2}+{c}^{2}-（2c）^{2}}{2（2c）•c}$=$\frac{1}{4}$…7分
（2）∵由已知可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$，即：$\frac{1}{2}$acsin60°=4$\sqrt{3}$，…8分
∴$\frac{1}{2}$ac$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，解得：ac=16，…10分
又∵由（1）得：b²=2ac=32，…11分
∴解得：b=4$\sqrt{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．