Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），若函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则正实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的概念及应用

分析：求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）；
令f′（x）=0，得x=

1

a

；
∴在（0，

1

a

]上f′（x）≤0，在[

1

a

，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，+∞）上是增函数；
∵函数f（x）在区间[1，+∞）内是增函数，
∴

1

a

≤1，又a＞0，∴a≥1；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．