Question

19．已知函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos2x+1．
（I）求函数f（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若△ABC为锐角三角形且f（A）=0，求$\frac{b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的余弦定理和辅助角公式化简函数解析式，由正弦函数的对称中心求得函数图象的对称中心．
（2）根据正弦定理，化简$\frac{b}{c}$，再构造函数，利用函数的单调性即可求出．

解答 解：（1）$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cos2x+1$，
=-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1，
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
对称中心横坐标满足：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
∴x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{k}{2}$π，
∴对称中心为（-$\frac{π}{12}$+$\frac{k}{2}$π，1）
（2）∵f（A）=0，
∴-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$
∵△ABC为锐角三角形
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{tanC}$+$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$
∴$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$
∴tanC＞$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{tanC}$＜$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{c}$＜2
∴$\frac{b}{c}$的范围是（$\frac{1}{2}$，2）

点评 本题考查三角函数的化简，两角和的正弦与余弦公式，正切函数的应用，正弦定理的应用．