Question

7．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|²+|FB|²＜|AB|²？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．
（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设l的方程为x=λy+m，联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$利用韦达定理，结合向量的数量积推出m²-6m+1＜4λ²，对任意实数λ，4λ²的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．

解答 解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，
那么点P（x，y）满足：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}-x=1（x＞0）$，
化简得y²=4x（x＞0）．
（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=λy+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y²-4λy-4m=0，△=16（λ²+m）＞0，
于是$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4λ}\\{{y_1}{y_2}=-4m}\end{array}}\right.$①，又$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0?（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}＜0$②，
又$x=\frac{y^2}{4}$，于是不等式②等价于$\frac{y_1^2}{4}•\frac{y_2^2}{4}+{y_1}{y_2}-（\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}）+1＜0?\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}+{y_1}{y_2}-\frac{1}{4}[{（{y_1}+{y_2}）^2}-2{y_1}{y_2}]+1＜0$③，
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜4λ²④对任意实数λ，4λ²的最小值为0，
所以不等式④对于一切π成立等价于m²-6m+1＜0，即$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，
都有|FA|²+|FB|²＜|AB|²，且m的取值范围为$（3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．