Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x。
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围。
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f′（x）=a-a-1=，
接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，
故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符。
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，
在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x₀=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，
结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，
所以a∈（-1-e，-1）；
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围
又∵f′（x）==-1-，
设g（x）=-1-，
则g'（x）=＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，
而f′（1）=-1-，结合f′（x）在（1，+∞）上连续，
当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f′（x）∈（-1，-1-）
直线l 的斜率k=，则
∵直线l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-在（1，+∞）上恒成立，
即-2a-1≤e^x在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥
综上所述，a的取值范围是[，-1）。
（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），
∴不妨设x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=，
下面用反证法说明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x₂）=（f（x₁）+f（x₃））
所以 2=+≥2，得x₁=x₃与x₁＜x₂＜x₃矛盾
接下来说明角B是钝角：=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），
=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂））
∴=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+[f（x₁）-f（x₂）][f（x₃）-f（x₂）]
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴＜0，
可得∠B∈（，π），即△ABC是中B为钝角
假设△ABC为等腰三角形，只能是 =
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂-x₁=x₃-x₂，
∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
结合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），
化简得2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），
也就是2aln（1+）-2（a+1）x₂=aln（1+）（1+）-（a+1）（x₁+x₃）
将2x₂=x₁+x₃代入即得：2aln（1+）-2（a+1）x₂=aln（1+）（1+）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+）=ln（1+）（1+）（1+）²=（1+）（1+），
可得+2=++=+①
而事实上，若①成立，根据+?2=2，
必然得到 =，与x₁＜x₃矛盾
所以△ABC不可能为等腰三角形。