Question

【题目】已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设球心O到正三棱锥 底面MNQ的距离为x，则VP﹣MNQ，设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x），利用均值不等式分别求最值即可.

设球心O到正三棱锥 底面MNQ的距离为x，则0≤x＜3，

设底面中心为O′，则O′M，

∴底面边长MNO′M，棱锥的高SO′＝x+3，

∴VP﹣MNQ（3+x）（6﹣2x）（x+3）（）3＝8．即8

当且仅当x+3＝6﹣2x即x＝1时取得等号．

设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，

则：x2+（a）2＝9，

而正四棱锥的高为h＝3+x，

故正四棱锥体积为：

V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x）（6﹣2x）（3+x）（3+x）

（）3，即

当且仅当x＝2时，等号成立，

∴

故答案为：