Question

【题目】已知函数.

（1）求在上的最值；

（2）设，若当，且时，，求整数的最小值..

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）2

【解析】

(1)先对函数求导，然后讨论参数的范围，分别判断每种情况下的单调性，即可求出对应的最值；

(2)先写出的解析式，分两种情况讨论：

当时，由(1)易知时，，从而，进而可得m的范围；

当时，可将变形为，只需用导数的方法研究的单调性和最值即可；

解法一：

（1），

①当时，

因为，所以在上单调递减，

所以，无最小值.

②当时，

令，解得，在上单调递减；

令，解得，在上单调递增；

所以，无最大值.

③当时，

因为，等号仅在，时成立，

所以在上单调递增，

所以，无最大值.

综上，当时，，无最小值；当时，，无最大值；当时，，无最大值.

（2）,

当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以.

当时，因为，所以，所以，

令，，已知化为在上恒成立，

因为，

令，，则，在上单调递减，

又因为，，

所以存在使得，

当时，，，在上单调递增；

当时，，，在上单调递减；

所以，

因为，所以，

所以，

所以的最小整数值为2.

解法二：

（1）同解法一.

（2），

①当时，因为，由（1）知，所以，所以，

②当时，因为，，所以，

令，，已知化为在上恒成立，

因为在上，所以，

下面证明，即证在上恒成立，

令，，

则，令，得，

当时，，在区间上递减；

当时，，在区间上递增，

所以，且，

所以当时，，即.

由①②得当时，，

所以的最小整数值为2.