Question

19．若等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=2．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$分别用$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CA}$表示，利用等边三角形对应向量的运算解答．

解答 解：等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MA}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}）$=$-\frac{5}{36}{\overrightarrow{BC}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{5}{36}×12+\frac{2}{9}×12+\frac{1}{6}×12×\frac{1}{2}$=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的运算；关键是将所求转化为利用等边三角形的边对应的向量表示；注意向量的夹角与三角形的内角相等或者互补．