Question

20．已知集合M={（x，y）|2x+y-4=0}，N={（x，y）|x²+y²+2mx+2ny=0}，若M∩N≠∅，则m²+n²的最小值（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． （6-2$\sqrt{5}$）
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由M∩N≠∅，可得直线2x+y-4=0与圆x²+y²+2mx+2ny=0有交点，即圆心（-m，-n）到直线2x+y-4=0的距离不大于半径，建立不等式，三角换元，即可求出m²+n²的最小值．

解答 解：由题意，可知集合M={（x，y）|2x+y-4=0}，N={（x，y）|x²+y²+2mx+2ny=0}，且M∩N≠∅，
∴表示直线2x+y-4=0与圆x²+y²+2mx+2ny=0有交点，即圆心（-m，-n）到直线2x+y-4=0的距离不大于半径，
∴d=$\frac{|2m+n+4|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$≤$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
设m²+n²=r²，m=rcosα，n=rsinα，
∴-$\sqrt{5}$r≤2rcosα+rsinα+4≤$\sqrt{5}$r，
∴r≥$\frac{4}{\sqrt{5}-2cosα-sinα}$
∴r≥$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴r²≥$\frac{4}{5}$，
∴m²+n²的最小值为$\frac{4}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是集合的交集的定义及运算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．