Question

8．（Ⅰ）求不等式2^x+2^|x|≥2$\sqrt{2}$的解集；
（Ⅱ）已知实数m＞0，n＞0，求证：$\frac{a^2}{m}$+$\frac{b^2}{n}$≥$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{m+n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论①当x≥0时，②当x＜0时，去绝对值，运用指数函数的单调性，计算即可得到所求解集；
（Ⅱ）运用作差法，因式分解，配方，由完全平方式非负，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）①当x≥0时，有${2^x}+{2^x}≥2\sqrt{2}$，
由${2^x}\;≥\;{2^{\frac{1}{2}}}$，解得$x≥\frac{1}{2}$．
②当x＜0时，有${2^x}+{2^{-x}}≥2\sqrt{2}$，
即${（{2^x}）^2}-2\sqrt{2}•{2^x}+1≥0$．
解得${2^x}≤\sqrt{2}-1$或${2^x}≥\sqrt{2}+1$，
又x＜0，解得$x≤{log_2}（\sqrt{2}-1）$，
则原不等式解集为{x|$x\;≥\;\frac{1}{2}$或$x\;≤\;{log_2}（\sqrt{2}-1）$}．　　　　　　　　　  　　　
（Ⅱ）证明：$\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}-\frac{{{{（a+b）}^2}}}{m+n}=\frac{{n{a^2}+m{b^2}}}{mn}-\frac{{{{（a+b）}^2}}}{m+n}=\frac{{（m+n）（n{a^2}+m{b^2}）-mn{{（a+b）}^2}}}{mn（m+n）}$
=$\frac{{{n^2}{a^2}+{m^2}{b^2}-2mnab}}{mn（m+n）}$=$\frac{{{{（na-mb）}^2}}}{mn（m+n）}\;≥\;0$，
则$\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\;≥\;\frac{{{{（a+b）}^2}}}{m+n}$，当且仅当na=mb时等号成立．

点评 本题考查不等式的解法和证明，注意运用分类讨论和作差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．