Question

3．设x∈R，f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x|，若不等式f（x）-k≤-f（2x）对于任意的x∈R都恒成立，则实数k的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））_min≤k对于任意的x∈R恒成立即可，将f（x）的解析式代入，利用换元法转化为二次函数求最值即可

解答 解：∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x|，
∴f（2x）=（$\frac{1}{3}$）^|2x|，
∵不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立
令t=（$\frac{1}{3}$）^|x|=t∈（0，1]，则y=t²+t（0＜t≤1）
∵对称轴t=-$\frac{1}{2}$，则当t=1时，y_max=2，
∴k≥2，
故答案为：[2，+∞）

点评 本题考查含有绝对值的函数的图象的做法和不等式恒成立为题，题目难度不大，属基本题型，基本方法的考查