Question

已知抛物线y²=4x与直线y=2x+k相交于点A、B，且|AB|=3

5

．
（1）求k的值；
（2）以AB为底边，以x轴上的点P为顶点组成三角形PAB，当S_△PAB=39时，求P点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由

y2=4x y=2x+k

消去x，得y²-2y+2k=0，运用韦达定理和弦长公式，即可得到k的值；
（2）设P（x，0），P到直线AB距离为d，由S_△APB=

1

2

|AB|d=39，以及点到直线的距离公式，即可求出P的坐标．

解答： 解：（1）由

y2=4x y=2x+k

消去x，得y²-2y+2k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2，y₁y₂=2k，
则|AB|=

1+ 1 4

|y₁-y₂|=

5

2

•

4-8k

=3

5

，
则k=-4．
（2）设P（x，0），P到直线AB距离为d，
∵|AB|=3

5

．∴S_△APB=

1

2

|AB|d=39，
∴d=

26 5

5

又d=

|2x-4|

5

，∴x=15或x=-11．
∴P（15，0）或P（-11，0）

点评：本题考查联立直线和抛物线方程，消去一个未知数，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于较基础题．