Question

17．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在第一象限内，且是以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点，延长PF₂，与双曲线交于点Q．若|PF₁|=|QF₂|，则直线PF₂的斜率为（　　）

• A． -3
• B． -1
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 设直线PF₂的倾斜角为α，则|PF₁|=|QF₂|=2csinα，|PF₂|=-2ccosα，可得2a=2csinα+2ccosα，△F₁F₂Q中，由余弦定理，化简可得tanα，即可求出直线PF₂的斜率．

解答 解：设直线PF₂的倾斜角为α，
则|PF₁|=|QF₂|=2csin（180°-α）=2csinα，
|PF₂|=2ccos（180°-α）=-2ccosα，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=2csinα+2ccosα，
△F₁F₂Q中，由余弦定理可得
（2csinα+2csinα+2ccosα）²=4c²+（2csinα）²-2•2c•（2csinα）•cosα，
化简可得4=12sin²α+4cos²α+24sinαcosα，
即为sinα+3cosα=0，
可得tanα=-3，
即直线PF₂的斜率为-3．
故选：A．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．