Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d有两个极值点x₁、x₂，且|x₁-x₂|＞|f（x₁）-f（x₂）|，且f（x₁）=x₁，则关于3af（x）²+2bf（x）+c=0的不同实数根有

 

个．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
由题意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的两根，即x₁，x₂是函数的两个极值点，
不妨设x₂＞x₁，从而关于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有两个根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根据题意画图，
所以f（x）=x₁有两个不等实根，f（x）=x₂只有一个不等实根，
综上方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同实根个数为3个．

点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．