Question

已知函数f（x）=

(-1)nsin πx 2 +2n，x∈[2n，2n+1) (-1)n+1sin πx 2 +2n+2，x∈[2n+1，2n+2)

(n∈N)，若数列{a_n}满足a_m=f（m）（m∈N^*），数列{a_m}的前m项和为S_m，则S₁₀₄-S₉₆=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列的求和和分段函数，得到S₁₀₄-S₉₆=a₉₇+a₉₈+a₉₉+a₁₀₀+a₁₀₁+a₁₀₂+a₁₀₃+a₁₀₄=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）+f（101）+f（102）+f（103）+f（104），
再运用诱导公式求出三角函数值，从而得到答案．

解答： 解：∵S₁₀₄=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₄，S₉₆=a₁+a₂+a₃+…+a₉₆，
∴S₁₀₄-S₉₆=a₉₇+a₉₈+a₉₉+a₁₀₀+a₁₀₁+a₁₀₂+a₁₀₃+a₁₀₄
=f（97）+f（98）+f（99）+f（100）+f（101）+f（102）+f（103）+f（104）
=[-sin（

97π

2

）+2×48+2]+[-sin（

98π

2

）+2×49]+[sin（

99π

2

）+2×49+2]+[sin

100π

2

+2×50]+[-sin

101π

2

+2×50+2]+[-sin

102π

2

+2×51]
+[sin

103π

+2×51+2]+[sin

104π

2

+2×52]
=97+98+99+100+101+102+103+104
=

8(97+104)

2

=804．
故答案为：804．

点评：本题考查分段函数及应用，考查数列的求和，三角函数的求值，考查基本的运算能力，属于中档题．