Question

若函数f（x）=log_a（ax²-x）（a＞0，a≠1）在区间[3，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（

  1

  3

  ，1）
• C、[

  1

  8

  ，

  1

  3

  ）∪（1，+∞）
• D、[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分别利用复合函数的单调性、二次函数u（x）=ax²-x的性质，求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答：解：①当a＞1时，令u（x）=ax²-x，则函数u的对称轴为x=

1

2a

＜

1

2

，f（x）=log_au（x），
由于函数u（x）在区间[3，4]上是增函数，f（x）在区间[3，4]上是增函数，
故有u（3）=9a-3＞0，求得a＞

1

3

，故a＞1满足条件．
②当0＜a＜1时，由于函数y=log_au在区间（0，+∞）上是增函数，
由题意可得u（x）=ax²-x在区间[3，4]上是减函数，故有

1 2a ≥4 u(4)=16a-4＞0

，求得a∈∅．
综上可得，实数a的取值范围是（1，+∞），
故选：A．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．