Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（1）证明：；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）对于，令n=1即可证明；
（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．
（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．
解答：解：（1）当n=1时，，
∵
（2）当n≥2时，满足，且，
∴，
∴，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
∴当n≥2时，{a_n}是公差d=2的等差数列．
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，∴，，解得a₂=3，
由（1）可知，，∴a₁=1∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．
（3）由（2）可得式=．
∴

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解题的关键．