Question

18．若实数x，y满足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，则x+y的最小值为$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 实数x，y满足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，可得x+y=$\frac{1}{3}（x-y）+\frac{2}{3}（x+2y）$=$\frac{1}{3}[（x-y）+2（x+2y）]$$（\frac{1}{x-y}+\frac{8}{x+2y}）$=$\frac{1}{3}（17+\frac{2（x+2y）}{x-y}+\frac{8（x-y）}{x+2y}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：实数x，y满足x＞y＞0，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{8}{x+2y}$=1，
则x+y=$\frac{1}{3}（x-y）+\frac{2}{3}（x+2y）$=$\frac{1}{3}[（x-y）+2（x+2y）]$$（\frac{1}{x-y}+\frac{8}{x+2y}）$=$\frac{1}{3}（17+\frac{2（x+2y）}{x-y}+\frac{8（x-y）}{x+2y}）$≥$\frac{1}{3}（17+2×2\sqrt{\frac{x+2y}{x-y}×\frac{4（x-y）}{x+2y}}）$=$\frac{25}{3}$．
当且仅当y=$\frac{5}{3}$，x=$\frac{20}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．