Question

（本小题满分14分）
如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,
.
(1) 求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
图5

Answer 1

(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
（1）证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形,
∴点为的中点.                   
∵为的中点，
∴为△的中位线,
∴ .                  …… 2分
∵平面,平面,
∴平面.            …… 4分
(2)解: 依题意知，，
∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，                 ……6分
设，
在Rt△中，，，
∴四棱锥的体积
.   …… 8分
依题意得，，即.                                   …… 9分
(以下求二面角的正切值提供两种解法)
解法1:∵,平面，平面，
∴平面.
取的中点，连接，则,且.
∴平面.
作，垂足为，连接，
由于，且，
∴平面.
∵平面,
∴.
∴为二面角的平面角.                       …… 12分
由Rt△～Rt△,得,
得,
在Rt△中, .
∴二面角的正切值为.                         …… 14分
解法2: ∵,平面，平面，
 ∴平面.
以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,
轴和轴,建立空间直角坐标系.
则,,,.
∴,
设平面的法向量为,
由及,得
令,得.
故平面的一个法向量为,                         …… 11分
又平面的一个法向量为,
∴,.       …… 12分
∴,.                           …… 13分
∴,.
∴二面角的正切值为.                            …… 14分

略