Question

14．若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）已知0＜a₁＜a₂＜a₃，求使得2比2-a_ix（i=1，2，3）远离1都成立的x取值范围；
（3）设0＜x＜1，且a≠1，则log_a（1-x）比log_a（1+x）那个远离零？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定义和绝对值不等式及一元二次不等式即可得出．
（2）根据新定义得到|2-1|＞|2-a_ix-1|恒成立，解不等式即可．
（3）利用作差法判断|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，即可．

解答 解：（1）由题意可得|x²-1-0|＞|1-0|，化为|x²-1|＞1，化为x²-1＞1或x²-1＜-1．
由x²-1＞1，化为x²＞2，解得$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$；
由x²-1＜-1，化为x²＜0，其解集为∅．
故x的取值范围是$（-∞，-\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，+∞）$．
（2）|2-1|＞|2-a_ix-1|恒成立，
即1＞|1-a_ix|，即|a_ix-1|＜1，得-1＜a_ix-1＜1，
即0＜a_ix＜2，则0＜x＜$\frac{2}{{a}_{i}}$，
∵0＜a₁＜a₂＜a₃，∴0＜$\frac{2}{{a}_{3}}$＜$\frac{2}{{a}_{2}}$＜$\frac{2}{{a}_{1}}$，
∴0＜x＜$\frac{2}{{a}_{i}}$的解为0＜x＜$\frac{2}{{a}_{3}}$．
（3）若0＜x＜1时，1-x＜1＜1+x，
若a＞1，则|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1-x）+log_a（1+x）]=-log_a（1-x²），
∵0＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，log_a（1-x²）＜0，则-log_a（1-x²）＞0，
此时，|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，
若0＜a＜1，则|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x）+log_a（1+x）=log_a（1-x²），
∵0＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，log_a（1-x²）＞0，
此时，|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|，
综上log_a（1-x）比log_a（1+x）远离零．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据新定义，利用作差法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．