Question

15．已知f（x）=ax²-（ab+b）x+1．
（1）当b=1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若a，b均为正实数且f（-2）=9，求2a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入b值，不等式可因式分解为（ax-1）（x-1）＜0，对参数a分类讨论，得出解集；
（2）由条件可知2a+b+ab=4，由不等式性质$ab≤\frac{1}{2}•{（\frac{2a+b}{2}）^2}$，可得$4≤2a+b+\frac{{{{（2a+b）}^2}}}{8}$，利用换元法解不等式即可．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
所以（ax-1）（x-1）＜0．
①当a=0时，此不等式解集为{x|x＞1}
②当a＜0时，此不等式解集为$\{x\left|{x＜\frac{1}{a}或x＞1\}}\right.$
当a＞0时，
若$\frac{1}{a}＞1$即0＜a＜1时，此不等式解集为$\{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}\}}\right.$；
若$\frac{1}{a}=1$即a=1时，此不等式解集为∅；
若$\frac{1}{a}＜1$即a＞1时，此不等式解集为$\{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1\}}\right.$．…（6分）
（2）f（-2）=4a+2ab+2b+1=9得：2a+b+ab=4，
∵$ab≤\frac{1}{2}•{（\frac{2a+b}{2}）^2}$，
∴$4≤2a+b+\frac{{{{（2a+b）}^2}}}{8}$，
解得：$2a+b≥4（{\sqrt{3}-1}）$（$2a+b≤-4\sqrt{3}-4$（舍去））
当且仅当2a=b，即$a=\sqrt{3}-1，b=2\sqrt{3}-2$时上式取等号．
所以2a+b的最小值为$4\sqrt{3}-4$．…（12分）

点评 考查了二次不等式解集的分类讨论问题，不等式的证明，难点是对常用不等式$ab≤\frac{1}{2}•{（\frac{2a+b}{2}）^2}$的应用．