Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；已知A=$\frac{π}{4}$，bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a．
（1）求角B、C的大小；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由 已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简可得sin（B-C）=1，结合范围0＜B，C＜$\frac{3π}{4}$，由$B-C=\frac{π}{2}$，求得B，C的值；
（2）由（1）及正弦定理得b，c，利用三角形的面积公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 解：（1）由 bsin（$\frac{π}{4}$+C）-csin（$\frac{π}{4}$+B）=a及正弦定理得：sinBsin（$\frac{π}{4}$+C）-sinCsin（$\frac{π}{4}$+B）=sinA，
即sinB（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinC）-sinC（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：sinBcosC-cosBsinC=1，
所以sin（B-C）=1，又0＜B，C＜$\frac{3π}{4}$，
所以$B-C=\frac{π}{2}$，又$B+C=\frac{3π}{4}$，求得：$B=\frac{5π}{8}{，_{\;}}C=\frac{π}{8}$
（2）由（1）及正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}=2sin\frac{5π}{8}$，c=$\frac{asinC}{sinA}=2sin\frac{π}{8}$，
所以三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{2}sin\frac{5π}{8}sin\frac{π}{8}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．