Question

3．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数满足|2a+b|+|2a-b|≥λ|a|，求实数λ的最大值．
（Ⅱ）若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-$\frac{1}{4}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|即可证得结论成立；
（Ⅱ）构造函数$h（x）=|{2x+1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-x，x≤-1\\-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}\\ x，x≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，作出y=h（x）与过定点（1，-$\frac{1}{4}$）的直线y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|
∴$\frac{{|{2a+b}|+|{2a-b}|}}{|a|}≥4$，
从而实数λ的最大值为4．…（5分）
（Ⅱ）记$h（x）=|{2x+1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-x，x≤-1\\-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}\\ x，x≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$
若不等式$|{2x+1}|-|{x+1}|＞k（x-1）-\frac{1}{4}$恒成立，则函数h（x）的图象在直线$y=k（x-1）-\frac{1}{4}$的上方，

∵y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$经过定点（1，-$\frac{1}{4}$），当x=-$\frac{1}{2}$时，y=h（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
显然，当y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$经过定点P（1，-$\frac{1}{4}$）与M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，k_PM=$\frac{-\frac{1}{4}-（-\frac{1}{2}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{6}$，即k＞$\frac{1}{6}$；
当y=k（x-1）-$\frac{1}{4}$经过定点P（1，-$\frac{1}{4}$）与直线y=x平行时，k得到最大值1，
∴数形结合可得$k∈（\frac{1}{6}，1]$．…（10分）

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．