Question

【题目】在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆经过点，其中为椭圆的离心率.过点作斜率为的直线交椭圆于两点（在轴下方）.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点且平行于的直线交椭圆于点， ，求的值；

（3）记直线与轴的交点为.若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，化简可得（2）根据投影可得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值（3）先求交点坐标，再根据，得，利用（2）韦达定理得等量关系，解出直线的斜率.

试题解析：（1）因为椭圆经过点，所以.

因为，所以.

因为，所以.

整理得，解得或（舍），所以椭圆的方程为.

（2）设， .因为，则直线的方程为.

联立直线与椭圆方程，

消去，得，所以.

因为，所以直线方程为，

联立直线与椭圆方程，消去得，解得.

因为，所以.

因为 ，

，

所以 .

（3）在中，令，则，所以，

从而， .

因为，所以，即.

由（2）知， .

由，解得， .

因为，所以，

整理得，解得或（舍）.

又因为，所以.