Question

【题目】某企业生产一种产品，根据经验，其次品率与日产量 （万件）之间满足关系, （其中为常数，且，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.

（1）试将生产这种产品每天的盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润?

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）运用每天的赢利为P（x）＝日产量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日产量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）与x的函数式；

（2）当a＜x≤11时，求得P（x）的最大值；当1≤x≤a时，设12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a＜3时，当x＝11时，取得最大利润； 3≤a＜9时，运用复合函数的单调性可得当x＝a时取得最大利润；当9≤a≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润．

（1）当时，，

∴.

当时，，

∴.

综上，日盈利额（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为

，（其中a为常数，且）.

（2）当时，，其最大值为55万元.

当时，，设，则，

此时，，

显然，当且仅当，即时，有最大值，为13.5万元.

令，得，

解得（舍去）或，

则（i）当时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.

（ii）当时，时，

函数可看成是由函数与复合而成的.

因为，所以，故在上为减函数

又在上为减函数，所以在上为增函数

故当日产量为a万件时，可获得最大利润万元.

（iii）当时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.