Question

2．已知函数y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求此函数的单调增区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数的最大值、最小值及取得最值时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）应用二倍角公式、化一公式；（2）用复合函数单调性求单调区间；（3）求函数最值．

解答 解：（1）$y=\frac{1}{2}•\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x+1$=$\frac{1}{4}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x+\frac{5}{4}=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．故函数的振幅A=$\frac{1}{2}$，周期为π，初相为$\frac{π}{6}$．
（2）∵-$\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$∴$-\frac{π}{3}+kπ＜x＜\frac{π}{6}+kπ$，故此函数的单调增区间为$（-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ），k∈Z$
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]∴2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，故函数的最大值为$\frac{7}{4}$，此时x的取值集合为{$\frac{π}{6}$}；最小值为1，此时x的取值集合为{$\frac{π}{2}$}．

点评 本题考查了三角函数的基础求值，重点考查了三角函数求最值问题．