Question

已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点A（x₁，y₁），将射线OA按逆时针方向旋转

2π

3

后与单位圆O交于点B（x₂，y₂），f（α）=x₁-x₂；
（Ⅰ）若角α为锐角，求f（α）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=

3

2

，c=3，△ABC的面积为3

3

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据A与B为单位圆上的点，利用三角函数定义得到x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），进而表示出f（α），利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据α为锐角，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（α）的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）解析式，以及f（A）=

3

2

，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与c的值代入求出b的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函数定义知，x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），
f（α）=x₁-x₂=cosα-cos（α+

2π

3

）=

3

2

cosα+

3

2

sinα=

3

sin（α+

π

3

），
∵角α为锐角，
∴

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
∴

3

2

＜

3

sin（α+

π

3

）≤

3

，
则f（α）的取值范围是（

3

2

，

3

]；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

得：sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=3

3

，c=3，
∴b=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+9-12=13，
则a=

13

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．