Question

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；
（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N^*）；
（Ⅲ）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求k的值及f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N^*）上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程组，即可求常数a，b的值；
（Ⅱ）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2^k，则f（2^k+1）-f（2^k）=1，{f（2^k）}是等差数列，利用通项公式求解
（Ⅲ）令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）=-2f（x）恒成立⊕，将[1，2ⁿ）分解成[2^k-1，2^k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2^k-1，2^k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知

af(1)+b=f(2) af(2)+b=f(4)

，即

3a+b=6 6a+b=9

，
解得：

a=1 b=3

；…3分
（Ⅱ）由题意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2^k（k∈N*），
可得f（2^k+1）=f（2^k）+1，∴{f（2^k）}是公差为1的等差数列，
故f（2ⁿ）=f（2⁰）+n，又f（2⁰）=3，故f（2ⁿ）=n+3．  …8分
（Ⅲ）当x∈[1，2）时，f（x）=k-|2x-3|，
令x=1，可得f（1）=k-1=3，解得k=4，…10分
所以，x∈[1，2）时，f（x）=4-|2x-3|，故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，
当x∈[2^k-1，2^k）（k∈N*）时，

x

2k-1

∈[1，2)，f(x)=-2f(

x

2

)=4f(

x

4

)=…=(-2)k-1f(

x

2k-1

)，…9分
故k为奇数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是[3×2^k-1，2^k+1]；
当k为偶数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是[-2^k+1，-3×2^k-1]． …11分
所以当n=1时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为4，最小值为3；
当n为不小于3的奇数时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为2ⁿ⁺¹，最小值为-2ⁿ；
当n为不小于2的偶数时，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值为2ⁿ，最小值为-2ⁿ⁺¹．…13分．

点评：本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．