Question

若对定义在R上的可导函数f（x）恒有（4-x）f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（　　）

• A、恒大于等于0
• B、恒小于0
• C、恒大于0
• D、和0的大小关系不能确定

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：根据条件构造函数g（x）=

x4f(x)

ex

，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，进而可以判断函数f（x）的取值情况．

解答： 解：令g（x）=

x4f(x)

ex

，
∴g′（x）=

x3[(x-4)f(x)+xf′(x)]

ex

∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(x)

ex

，
当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选：C．

点评：本题主要考查函数值判断，利用条件构造函数g（x）=

x4f(x)

ex

是解决本题的关键，利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的观察能力，综合性较强，难度较大．