Question

已知函数f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

处有极值，则函数y=asinx+bcosx的图象可能是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先对f（x）求导，再利用极值的性质求出a，b的关系式，代入y=asinx+bcosx，再利用函数的性质（特殊点、单调性等）进行筛选．

解答： 解：∵f′（x）=（acosx-bsinx）•e^-x-（asinx+bcosx）•e^-x=e^-x[（a-b）cosx-（a+b）sinx]，
又∵f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

处有极值，∴f′(

π

6

)=e-

π

6

[(a-b)cos

π

6

-(a+b)sin

π

6

]=0，
整理得a=

1+ 3

3 -1

b，代入y=asinx+bcosx后得y=b[(2+

3

)sinx+cosx]①，∴y′=b[（2+

3

）cosx-sinx]②，
对于A项，∵f（0）＜0，所以b＜0，此时将x=

π

6

分别代入①②，经计算f（

π

6

）＜0，f′(

π

6

)＜0，与图象相符，所以A选项符合题意；
对于B项，∵f（0）＞0，所以b＞0，此时将x=

π

6

分别代入①②，经计算f′(

π

6

)＞0，与图象在x=

π

6

处是减函数不符，所以B选项不符合题意；
对于C项，∵f（0）＜0，所以b＜0，此时将x=

π

6

分别代入①②，经计算f′(

π

6

)＜0，与图象在x=

π

6

处是增函数不符，所以C选项不符合题意；
对于D项，∵f（0）＜0，所以b＜0，此时将x=

π

6

代入①，经计算f（

π

6

）＜0，与图象不符，所以D选项不符合题意．
故选A

点评：由函数式确定图象的问题，一般从函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、渐近线等）分析入手，注意结合特殊点、极值点的应用．