Question

过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-6）²+（y-2）²=5的切线l₁，l₂，A，B为切点，若l₁，l₂关于直线l对称，则∠APB=

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：连接PC、AC，根据圆的性质和轴对称知识，得当切线l₁，l₂关于直线l对称时，直线l⊥PC，且PC平分∠APB．因此计算出圆的半径和点M到直线l的距离，在Rt△PAC中利用三角函数定义算出∠APC的度数，从而得到∠APB的度数．

解答： 解：连接PC、AC，可得当直线l₁，l₂关于直线l对称时，直线l⊥PC，且射线PC恰好是∠APB的平分线
∵圆C的方程为：（x-6）²+（y-2）²=5，
∴点C坐标为（6，2），半径r=

5

点C到直线l：2x-y=0的距离为PC=

|2×6-2|

5

=2

5

由PA切圆C于A，得Rt△PAC中，sin∠APC=

AC

PC

=

1

2

，得∠APC=30°
∴∠APB=2∠APC=60°
故答案为：60°

点评：本题在直角坐标系中给出圆的两条切线关于已知直线对称，求它们之间所成的角，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系和轴对称等知识，属于中档题．