【题目】在圆内有一点
,
为圆
上一动点,线段
的垂直平分线与
的连线交于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程.
(Ⅱ)若动直线与点
的轨迹交于
、
两点,且以
为直径的圆恒过坐标原点
.问是否存在一个定圆与动直线
总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在定圆
总与直线
相切
【解析】
(Ⅰ)由点在线段
的上,结合垂直平分线的性质可得
,从而由椭圆的定义可得结果;(Ⅱ)直线
斜率不存在时,原点
到直线
的距离为
,直线
斜率存在时,可设直线
的方程为
,解
消去
得方程:
,利用向量垂直数量积为零,结合韦达定理可得
,由点点直线距离公式可得原点
到直线
的距离
,进而可得结果.
(Ⅰ)圆的圆心为
,半径为
点
在线段
的垂直平分线上
又点
在线段
的上
由椭圆的定义可知点
的轨迹是以
,
为焦点,长轴长为
的椭圆,
,故点
的轨迹方程为
(Ⅱ)假设存在这样的圆.设,
.
由已知,以为直径的圆恒过原点
,即
,所以
.
当直线垂直于
轴时,
,
,所以
,又
,解得
,
不妨设,
或
,
,即直线
的方程为
或
,此时原点
到直线
的距离为
.
当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
,解
消去
得方程:
因为直线
与椭圆
交于
,
两点,所以方程的判别式
即
,且
,
.
由,得
,
所以整理得
(满足
).
所以原点到直线
的距离
.
综上所述,原点到直线
的距离为定值
,即存在定圆
总与直线
相切.
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【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,得到如图的频率分布直方图(图1).
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;
(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到图2中数据,根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
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【题目】如图是2018年第一季度五省GDP情况图,则下列描述中不正确的是( )
A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长
B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元
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【题目】(12分)已知函数f(x)=
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
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【题目】已知抛物线的焦点为
.
(1)若抛物线的焦点到准线的距离为4,直线
,求直线
截抛物线
所得的弦长;
(2)过点的直线交抛物线
于
两点,过点
作抛物线的切线,两切线相交于点
,若
分别表示直线
与直线
的斜率,且
,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
(
为参数).以
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求点的轨迹
的方程及直线
的直角坐标方程;
(2)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上,这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象,过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30以上,其中不足50的周数大约5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周,根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量
(百斤)与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料
(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大鹏增加量
是多少斤?
(2)因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量 | 30<X<50 | ||
光照控制仪最多可运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照仪周利润为4000元;若某台光照仪未运行,则该台光照仪周亏损500元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
附:回归方程系数公式: ,
.
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