Question

在数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足

2an

anSn- S 2 n

=1（n≥2）
（1）判断数列{

1

Sn

}是否为等差数列，并说明理由；
（2）并求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

1，(n=1) - 2 nan ，(n≥2)

，令T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＜m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）运用数列的通项和前n项和的关系，化简整理，即可得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，再由等差数列的定义，即可得到；
（2）运用等差数列的通项公式，注意n=1的情况，即可得到通项；
（3）求出数列b_n=

1，n=1 n+1，n≥2

，考虑T_n+1-T_n，化简整理得到大于0，有n≥2时，T₂取得最小值，求出最小值，令m小于它即可．

解答： 解：（1）当n≥2时，2a_n=a_nS_n-S_n²，a_n=S_n-S_n-1，
即有2（S_n-S_n-1）=S_n（S_n-S_n-1）-S_n²=-S_nS_n-1．
则有

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
则数列{

1

Sn

}为等差数列，且首项为1，公差为

1

2

；
（2）由等差数列的通项公式可得，

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
即有S_n=

2

n+1

，
当n=1时，a₁=1，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=

-2

n(n+1)

则a_n=

1，n=1 -2 n(n+1) ，n＞1

；
（3）b_n=

1，(n=1) - 2 nan ，(n≥2)

，即为b_n=

1，n=1 n+1，n≥2

则T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

3+n

+…+

1

2n+1

，
T_n+1=

1

n+2

+

1

n+4

+…+

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

，
T_n+1-T_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

n+2

-

1

n+1

-

1

n+3

=

1

(n+2)(n+3)

-

1

(2n+2)(2n+3)

＞0，
即有n≥2时，T₂取得最小值，
则若T_n＞m对n≥2恒成立可化为T₂＞m，
又∵T₂=

1

3

+

1

5

=

8

15

，
则m＜

8

15

．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式，考查数列的单调性和运用：解决恒成立问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．