Question

在平面直角坐标系xOy中，以椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（c，y），由题意可得，y＞c＞

2

2

y，y=±

b2

a

，从而可求椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：∵圆A与x轴相切于焦点F，
∴圆心与F的连线必垂直于x轴，不妨设A（c，y），（y＞0），
∵A在椭圆上，则y=±

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圆的半径为y=

b2

a

，
与y轴相交于B、C两点，则c＜y，
又△ABC是锐角三角形，且为等腰三角形，
只要A为锐角，即有cos

A

2

＞

2

2

，即为

c

y

＞

2

2

，
故有y＞c＞

2

2

y
∴c²＜（

b2

a

）²＜2c²，
∴e²＜（1-e²）²＜2e²
∴

6 - 2

2

＜e＜

5 -1

2

，
故答案为：（

6 - 2

2

，

5 -1

2

）．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．