Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

3

2

，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由e=

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，于是a2=

4

3

c2=b2+c2，a²=4b²．设椭圆方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，与直线x+y+1=0联立得到根与系数的关系，再利用OP⊥OQ?

OQ

•

OQ

=0即可得出．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵e=

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，∴a2=

4

3

c2=b2+c2，∴a²=4b²．
设椭圆方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
联立

x+y+1=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

消y得5x²+8x+4-4b²=0，
∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64-4×5×（4-4b²）＞0，化为5b³＞1．
∴

x1+x2=- 8 5 x1•x2= 4-4b2 5

（*）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴2x₁x₂+x₁+x₂+1=0，
把（*）代入可得2

4-4b2

5

+（-

8

5

）+1=0，
解得b2=

5

8

，∴b=

10

4

．满足△＞0．∴b2=

5

8

．
∴a2=

5

2

．
∴椭圆方程为

x2

5 2

+

y2

5 8

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．